Header Ads

Son Yayınlar
recent

Çok Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

Çok bilinmeyenli denklemler

Orta okul yıllarım da her öğrenci gibi ben de matematik denklemleri ile istemesem de tanışmak zorunda kalmıştım. Bu denklemler genelde 2. dereceden denklemler ve 2 bilinmeyenli idi. Benim ilk olarak bahsedeceğim denklemler ise 1. dereceden denklemler. Şimdi bu basit denklemlerle bir tane örnek yapıp hafızalarınızdan silinen konuları tekrar hatırlatmak ve yazacağım konuyu anlamanızı sağlamak istiyorum.

Tam sayılar kümesinde x + y = 5 ise bu denklemdeki x ve y değerleri sonsuz tanedir. Çünkü, x, y ikilisi 2'ye 3, 1'e 4 veya 100'e (-95) ikilileri olabilir. Bir denklem daha yazarsak sonsuz çözümün oluşmasını kısıtlayabiliriz. Yani denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısından az olursa olmaz.

Sorumuz şöyle olsun. x + y = 5 ve 6x + y = 20 'dir. Şimdi, buradaki x ve y değerlerini bulabilmemiz için iki denklemi ortak çözmemiz gerekir. İki denklem ve iki bilinmeyen olduğuna göre artık x ve y'nin tek bir değeri olmalı, ilk örnekteki gibi sonsuz değerler çıkmayacaktır.

Çözüm:
denklem

Peki bu denklemler 3 ya da daha çok bilinmeyenli olsaydı nasıl çözebilirdik?

Bunun için farklı farklı yöntemler bulunmuştur. Benim bildiğim iki yöntemi sizlerle paylaşacağım.


1. Yöntem : Eşelon( Echolon) Matris Formu veya Elemanter Satır İşlemleri


Bu yöntemde matrislere ihtiyacımız olacak ve matrise bilinmeyen değerlerin katsayılarını yerleştireceğiz. Sonra satır işlemlerimizi yapacağız. Şimdi adım adım denklem sistemimizi çözelim.

Örnek:
denklem

Amacımız, yerleştirdiğimiz x, y, z katsayılı matrisi birim matrise çevirmeye çalışmak olacaktır.

NOT: Birim matrise çevirme işlemin de her türlü satır işlemlerini yapabilirsiniz. İster 2. satır ile 1. satırı toplayın, isterseniz de 2. satırla 3. satırı toplayın ya da satırları birbirleriyle yer değiştirin, birim matrisi bulduğunuz müddetçe sonuç değişmeyecektir.

eşolon matris

Matrisi hazırlama

Birinci, ikinci ve üçüncü denklemlerdeki katsayıları matrise yerleştirdik.

1. Adım

(1 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
1. satırı eksi ile çarpıp 2. satır ve 3. satır ile topladık.

2. Adım

(2 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
2. satırı eksi ile çarpıp 1. satıra ekledik. Sonra 2. satırı (-2) ile çarpıp 3. satıra ekledik ve 3. satırı (-1) ile çarptık.

3. Adım

(3 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
3. satırı (-2) ile çarpıp 2. satıra ekledik. Sonra 3. satırı 1. satıra ekledik.

Bulduğumuz x,y,z değerlerini verilen 3 denklemden seçtiğiniz birine koyarak sağlama yapabilirsiniz.

2. Yöntem : Cramer Kuralı


Cramer kuralı 1. yönteme göre daha basit bir yöntemdir. Verilen katsayılar matrisimizin determinantına detA deriz. Ayrıca detX, detY ve detZ'yi hesaplarız. Mesela detX'i hesaplarken 1. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinant hesaplanır ve x = detX / detA olur. detY içinde 2. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinant hesaplanır. Kaç bilinmeyen varsa bu şekilde uzayıp gider.

denklem

Şimdi aynı örneğimizi birde bu yöntemle çözelim. Resimlerden ne yapmaya çalıştığımı anlayabileceğinizi düşünüyorum. Resimle daha açıklayıcı olur umarım.

determinant

Zamanında Mimar Sinan'ın Selimiye Camii'nin kubbesini o genişliğe oturtmak için 13 bilinmeyenli bir denklemi matematiğin bilinen 4 ana işleminden farklı beşinci bir işlem yaratarak çözdüğü söylenir. Bu bir söylenti olabilir, fakat konuştuğumuz kişi Mimar Sinan..

2 Bilinmeyenli Denklemin - Elemanter Satır İşlemleriyle Çözümü[no-sidebar]

matris

1 yorum:

  1. Det A=0 olduğunda, formüle göre değerler tanımsız diyebiliriz. Oluşturduğum bu örnek incelenecek olursa;

    2x + y + z = 2,
    5x + 2y + 2z = 7,
    x + 3y + 3z = 5
    Bu denklemlerin çözümünde detA = 0 çıkar ve bundan dolayı x değeri tanımsız diyebiliriz. Zaten denklemler de y ve z'leri götürüp x'i yalnız bıraktığımız da x'in tanımsız olduğunu göreceğiz. Ama şöyle bir örnekte ise;

    x + y + z = 3,
    x + 3y + 3z = 7,
    x + 4y + 4z = 9 olsun.
    Yukarıdaki örnekte de detA = 0 çıkar. Fakat x=1, y=1 ve z=1 değerleri denklemleri sağlar. Yani değerler tanımsız olmaz. Bu örnekteki durumlar istisna olarak mı alınıyor orasına maalesef bir şey diyemeyeceğim.

    YanıtlaSil

Uyuyan bir adama sadece rüyalar gelir..

Blogger tarafından desteklenmektedir.